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 近期为学员解答的小学数学题
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近期为学员解答的小学数学题
 
1、相遇问题
A、B两地相距1100米,甲、乙两人同时从A地出发,在A、B间往返锻炼。甲步行每分钟60米,乙跑步每分钟160米,40分钟后停止运动。甲、乙两人第几次相遇时距B地最近?最近距离是多少米?
解答:甲乙在A-B从A点同时出发(包括途中相遇)后来回行走,每次相遇两人的路程之和应当是AB全程的两倍。因此,从出发到第一次相遇,以及每连续的两次相遇费时间间隔为1100*2/(60+160)=10(分钟)。出发后每次相遇的时间及相遇点到B的距离如下:
相遇次序     相遇时间(分钟) 甲的行程(米)   相遇时甲的走向  相遇点到距B(米)
     1               10                    600                 B            1100-600=500
     2               20                   1200                A            1200-1100=100
     3               30                   1800                A            1800-1100=700
     4               40                   2400                B            1100*3-2400=900
     5               40                   4800                B            1100*5-4800=700
答案:甲、乙两人第2次相遇时距B地最近,最近距离是100米。
 
2、差倍问题
甲乙各有数若干,甲为乙的五倍,各自借出五本后甲为乙的十五倍,问甲乙各有书几本?
解答一:甲乙的书本数量应当都是5与另一部分之和,包括5在内数量比例为5,不含5的另一部分之比为15。为求解本题列表如下:
人物            假设乙借出的书本数,根据1:15的比例推算出的甲借出的书及甲乙的总书数
乙                        5+1=6      5+2=7        5+3=8     5+4=9       5+5=10
甲                      5+15=20   5+30=35    5+45=60  5+60=65     5+75=80
乙书总数/甲书总数      3/10          1/5            2/15        9/65            1/8
根据甲乙书本总量的1:5关系,只有当以保留的书本数为2时,两人书本总数之比才是1:5。就是说,甲有5+2*15=35本,乙5+2=7本。
其他情况均可排除:1、当乙保留的是1本,乙书总数/甲书总数大于1/5;
                  2、当乙保留的是3或更多本,乙书总数/甲书总数小于1/5,且乙保留越多,乙书总数/甲书总数越小。
答案:甲有35本、乙有7本。
解答二:甲、乙借出的书数量相等,都是5本,而甲保留数是乙保留数的15倍,如果使甲保留的书也增至乙的15倍,即5*15=75(本),则甲的总书数就等于乙的总书数的15倍,比此前的5被增加了15-5=10(倍)。
这时,为甲增加的部分即75-5=70(本)就是乙的总书数的10倍。因此,乙的总书数应当是:70/10=7(本),甲的总书数为7*5=35本。
答案:甲有35本、乙有7本。
 
3、面积问题
等腰梯形顶长3厘米,底长5厘米,面积4平方厘米,求两对角线被其交点分割的部分与顶组成的三角形的面积。
解答一:两条对角线被其交点分割后,分别与上、下底组成两个互相对顶的三角形,可分别命名为“上交三角形”和“下交三角形”,本题要求的就是上交三角形的面积S上交
1、            关于梯形的高和两个对顶三角形的高。
(1)    根据梯形面积求梯形的高H:
据题意有(3+5)*H/2=4,
解之得H=1(厘米)。
(2)因为顶交三角形的高H和底交三角形的高H之和就是H,长为1厘米,所以H=1- H上。
2、            求下交三角形S下交与上交三角形的面积S上交之差。
(1)    S下交与S上交之差就是下右三角形与上右三角型的面积之差,即S下交S上交之差。
两条对角线将梯形分割成若干三角形,我们观察由梯形上底、右腰和一条对角线围城的三角形(命名为“上右三角型”),和由梯形下底、右腰和另一条对角线围成的三角形(命名为“下右三角形”)。
这两个三角成交叉关系,共有部分是以右腰为底,对角线为顶点的三角形(命名为“右交三角形”)。在此之外,上右三角形的另一部分是上交三角形,下右三角形的另一部分是下交三角形。
因此,S下交与S上交之差就是下右三角形与上右三角型的面积之差,即S下右与S上右之差之差。
(2)    下右三角形与上右三角型的面积差
S下右=5*1/2=2.5(平方厘米)
S上右= 3*1/2=1.5(平方厘米)
S下右- S上右=2.5-1.5=1(平方厘米)
(3)    利用面积差列方程求S上交
S下交-S上交=1
即5* H/2-3*H/2=1
5* (1- H)/2-3* H/2=1
   5-5* H-3* H=2
   5-8* H=2
   8H=3
   H=3/8(厘米)
   所以S上交=3*3/8/2=9/16(平方厘米)
答案:上交三角形面积是9/16(平方厘米)。
解答二:如果学过平面几何中的相似形知识,求法会更简单:
   梯形对角线分割出来的上交三角形与下交三角形形似,两三角形的面积比等于相似比的平方,即:
S下交/S上交=(上底/下底)*(上底/下底)
         =(5/3)*(5/3)
         =25/9
由前可知:S下交= S上交+1
即:    S上交+1 /S上交=25/9
        9* S上交+9=25* S上交
             16* S上交=9
所以:  S上交=9/15(平方厘米)
答案:上交三角形面积是9/16(平方厘米)。
 
4、数字寻位
已知自然数呈下列三角形排列,求2003所在行和列
1
2
4
7
11
3
5
8
12
 
6
9
13
 
 
10
14
 
 
 
15
 
 
 
 
解:1、观察第一列数字,从第一行开始分别为:
1,        1+2,  1+2+3,  1+2+3+4,  1+2+3+4+5,......
可知第一列第N行数字为:
1+2+3+4+5。。。。。。+N=N(1+N)/2
2、与2003最接近的数字所在第一列的行数N:
令其等于2003,则有
N(1+N)/2=2003,
N(1+N)=4006.
乘积接近4006的两个连续自然数是:
N=63,N+1=64,
63*64=4032.
也就是说,与2003最接近的数字所在第一列的第63行,这个数是:
64*(64+1)/2=4032/2=2016.
3、观察如图三角形,数字1的对边上的数字是一组连续自然数,并且从右上角向左下角递增。可见2003必然在2006所在的数字1的对边上,并且在2003所在位置的右上方。
因为2016-2003=13,所以2003所在行数比2016所在的第63行少13,列数比2016所在的第1列多13.
63-13=50,1+13=14.
答;2003所在行数为50,所在的列数为14。
 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

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